Lineare Algebra I (1102)

Prüfer: Prof. Dr. Kamps

26.09.2000, ca. 20 min

1.0

 
Vortrag über Lineare Gleichungssysteme

• m Gleichungen in n Unbekannten
• Ax=b, mit A aus K _m,n, x aus K ⁿ, b aus K ^m
• wenn b = 0, dann homogenes LGS, b ungleich 0, dann inhomogenes LGS
• System nur lösbar, wenn Rang von A gleich Rang der erweiterten Matrix
• Lösung = eine spezielle Lsg des inhomogenen LGS + allg. Lsg des homogenen LGS
• wenn Rang A = m, dann universell lösbar, wenn Rang A = n, dann höchstens eine Lösung, wenn Rang A = m = n, dann genau eine Lösung, nämlich x=A ^–1 b
• sonst umformen der erweiterten Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilennormalform und dann anwenden der Lösungsformeln für homogenes und inhomogenes Gleichungssystem

• Was ist L(G⁰) -> Untervektorraum
• Welche Dimension hat L(G⁰) -> dim L(G⁰) = n – rg A
• Die Dimensionsformel ist ein Spezialfall von was -> Homomorphismen

Anschließende Fragen

• Was ist ein Körper
• Beispiele für Körper –> R, C, kleinster Körper {0,1} mit 1+1=0
• Wie ist C definiert, wie die Addition, Multiplikation, i
• Was ist ein Homomorphismus
• Was ist Mono-, Epi-, Isomorphismus
• Bildzerlegung eines Homomorphismus mit Erklärung, wo ist Mono-, Epi, Isomorphismus
• Wie ist ein Faktorraum definiert, speziell V/Kern f
• Wie ist p _f definiert
• Wie ist b_f definiert
• Beweis, dass b_f wohldefiniert ist
• Allgemeine Dimensionsformel aus Bildzerlegung -> dim V – dim Kernf = rg f
• Was ist die Inverse einer Matrix, wie berechnet man die Inverse einer Matrix, kann man mit diesem Verfahren auch feststellen, ob A invertierbar ist
• Was darf man dabei nicht -> Zeilen- und Spaltenumformungen vertauschen